تبلیغات در ترفندستان
بازیابی اطلاعات هارد
+ ارسال تاپیک جدید
نمایش نتایج: از 1 به 1 از 1

موضوع: بحث برانگیزترین معماهای ریاضی

  1. #1
    تاریخ عضویت
    Jul 2015
    محل سکونت
    پست‌ها
    615

    NOD32 Firefox Windows-10
    نوع و سرعت اینترنت: ADSL-2 Mb/S
    سپاس (اهدایی)
    1642
    سپاس (دریافتی)
    960
    نوشته ‌های وبلاگ
    2

    Question بحث برانگیزترین معماهای ریاضی

    حتماً تا به حال برایتان پیش آمده است که یکی از دوستان علاقه‌مند به ریاضیات، برایتان معمایی مطرح کرده باشد؛ از آن نوع معماهایی که به گونه‌ای طراحی شده‌اند تا ذهن را به سمت جوابی آسان و غلط منحرف کنند. احتمالاً پس از اینکه جواب غلط مورد نظر دوست‌تان را داده‌اید، او با لبخندی پیروزمندانه برایتان توضیح داده است که کجای کار دچار اشتباه شده‌اید.اگر می‌خواهید شما هم در چنین مواقعی در جمع دوستان چند معما در آستین داشته باشید، در ادامه با چند مورد از بحث برانگیزترین و غیر قابل قبول‌ترین آن‌ها آشنا خواهید شد. توضیح علت درست بودن بعضی از حقایقی که در ادامه به آن‌ها اشاره خواهد شد، کار چندان آسانی نیست و به احتمال زیاد خیلی‌ها حاضر به قبول کردن صحت آن‌ها نخواهند شد.علاوه بر معماها، به چند مورد از قوانین و پارادوکس‌های عجیب دنیای ریاضیات نیز اشاره خواهیم کرد۱. معمای مانتی هال

    فرض کنید در یک مسابقه‌ی تلویزیونی، مجری برنامه ۳ درب به شما نشان می‌دهد که پشت یکی از آن‌ها یک ماشین آخرین مدل قرار گرفته است؛ درحالی که پشت دو درب دیگر دو بز قرار دارند. به شما فرصت انتخاب یک درب داده می‌شود. پس از اینکه یکی از درها را انتخاب کردید، مجری یکی از دو دری که انتخاب نکرده بودید را باز می‌کند تا چشمان‌تان به جمال یکی از بزها روشن شود.

    سپس مجری از شما می‌پرسد که آیا می‌خواهید درب انتخابی‌ خود را عوض کنید، یا همان درب قبلی را نگه خواهید داشت؟
    شما باشید چه می‌کنید؟ اگر فکر می‌کنید که چون تنها دو درب باقی مانده، شانس شما ۵۰-۵۰ است، اشتباه می‌کنید!اما چطور ممکن است که با وجود تنها دو گزینه برای انتخاب، شانس برد و باخت شما با هم برابر نباشند؟
    • شرکت‌ کننده‌ای که درب انتخابی خود را عوض کند، تنها در صورتی می‌بازد که پشت درب انتخابی‌اش ماشین بوده باشد.
    • از آنجایی که شانس ماشین بودن پشت درب در انتخاب اول یک سوم است، پس شانس باخت در صورت تعویض درب هم یک سوم است.
    • یعنی کسی که درب انتخابی‌اش را عوض کند دو سوم شانس پیروزی دارد و این دوبرابر شانس کسی است که تصمیم به عدم تعویض درب گرفته است.

    هنوز هم قانع نشده‌اید؟فرض کنید درب شماره‌ی ۱ را انتخاب کرده‌اید. جدول زیر تمام حالات ممکن را نشان می‌دهد:

    اگر درب انتخابی خود را عوض نکنید، از هر سه بار، تنها یک بار برنده می‌شوید، در حالی که در صورت تعویض، دو بار در هر سه بار برنده خواهید شد.
    اگر هنوز هم قانع نشده‌اید، همین مسئله را این بار با ۵۰ درب در نظر بگیرید. درب اول را انتخاب می‌کنید و مجری با باز کردن ۴۸ درب، ۴۸ بز زیبا به شما نشان می‌دهد.


    هنوز هم به انتخاب اول‌تان مطمئن هستید؟ به یاد داشته باشید که در انتخاب اول شانس شما ۱ در ۵۰ بود و این مثال هم بر مبنای همان قواعد مثال قبل است. البته تمامی این استدلال‌ها با فرض این است که قصد انتخاب ماشین را داشته باشید، نه بز!
    ۲. تساوی ۱ = ... ۰/۹۹۹

    اگر فکر می‌کنید که در تساوی بالا ... ۰/۹۹۹ دقیقاً برابر با عدد ۱ نیست و بنابراین باید به جای علامت تساوی از علامت کوچکتر (>) استفاده شود، کاملاً در اشتباه هستید. روش‌های مختلفی برای اثبات این حقیقت وجود دارند، اما خیلی‌ها همچنان حاضر به قبول کردن آن نمی‌شوند. برای مثال یکی از این اثبات‌ها در زیر آورده شده است:
    x = 0.999...10x = 9.999...10x - x = 9.999... - 0.999...9x = 9x = 1
    یکی از دلایلی که خیلی‌ها در فهم این حقیقت ریاضی مشکل دارند، نداشتن درک درست از مفهوم «بی نهایت» است. اکثر افراد تصور می‌کنند بالاخره یک ۹ نهایی در انتهای لیست اعداد پس از اعشار وجود دارد.اعداد را می‌توان به شکل‌های متفاوتی نوشت و ... ۰/۹۹۹ در واقع شکل دیگری از عدد ۱ است. اثبات اینکه این دو عدد با هم برابر هستند رابطه‌ی تنگاتنگی با مفهوم «حد» و «بی نهایت» در ریاضیات دارد.در زیر اثبات دیگر برای مسئله‌ی بالا آورده شده است:
    ⅓ = 0.333…3 * ⅓ = 3 * 0.333…1 = 0.999…


    ۳.تعداد اعداد طبیعی، برابر تعداد اعداد طبیعی زوج است


    اعداد طبیعی (Natural Numbers)، اعدادی هستند که با آن‌ها می‌شماریم. (۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ...)بی‌نهایت عدد طبیعی، و همچنین بی‌نهایت عدد زوج وجود دارد. شاید تصور کنید که اعداد طبیعی از لحاظ تعداد از اعداد زوج بیشتر هستند، چرا که اعداد طبیعی خود از اعداد زوج به اضافه‌ی اعداد فرد تشکیل شده‌اند؛ اما این استدلال غلط است.می‌توان یک [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] بین اعداد طبیعی و اعداد زوج برقرار کرد. این تابع دوسویی نشان می‌دهد که به ازای هر عدد طبیعی یک عدد زوج وجود دارد.

    برای درک بهتر این موضوع، این حقیقت را در نظر بگیرید که به ازای هر عدد طبیعی، عددی وجود دارد که دو برابر آن است. همچنین به ازای هر عدد زوج، عددی وجود دارد که نصف آن است. این یعنی هر دو مجموعه‌ی نامتناهی مورد نظر از لحاظ تعداد اعضا با هم برابر هستند. دلیل این برابر بودن هم «قابل شمارش بودن» این دو مجموعه‌ی نامتناهی است.
    برای مثال، نمی‌توانید یک تناظر یک به یک بین مجموعه‌ی اعداد طبیعی و مجموعه‌ی اعداد حقیقی برقرار کنید، چرا که دومی یک مجموعه‌ی نامتناهی «غیر قابل شمارش» است.


    ۴. قانون بنفورد


    در ۳۰ درصد مواقع، رقم اول اعدادی که در دنیای واقعی با آن‌ها روبرو می‌شویم «۱» است.این موضوع اولین بار توسط فرانک بنفورد فیزیک‌دان، در سال ۱۹۳۸ کشف شد. میزان ظاهر شدن بقیه‌ی اعداد در رقم اول نیز توزیع لگاریتمی به شکل زیر دارد.

    علیرغم اینکه
    [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] تجربی به صورت شهودی در اکثر مواقع صدق می‌کند، مدت‌ها پس از کشف همچنان توضیح و اثبات علمی دقیقی برای آن وجود نداشت؛ تا اینکه ریاضی‌دانی با نام تئودور هیل در سال ۱۹۹۶ توانست آن را اثبات کند.
    از این قانون برای تشخیص داده‌های ساختگی از داده‌های واقعی در مواردی مانند تعداد رأی‌ها در انتخابات، آمار اقتصادی کاذب و اطلاعات حسابداری جعلی استفاده می‌شود.این قانون همچنین در مجموعه [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ]، [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] و مجموعه‌ی توان‌های عدد ۲ نیز به چشم می‌خورد.



    ۵. مسئله‌ی تاریخ تولد


    فرض کنید در یک اداره کار می‌کنید که در مجموع ۲۳ کارمند دارد. احتمال اینکه دو نفر از کارمندان تاریخ تولد یکسانی داشته باشند چقدر است؟ (در این مسئله با فرض اینکه هیچ‌کس نمی‌تواند متولد ۳۰ اسفند باشد، از [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] صرف نظر می‌کنیم.) در صورتی که تعداد کارمندان اداره ۵۷ نفر باشد، این احتمال چقدر خواهد بود؟


    به احتمال زیاد از قبل می‌دانید هنگامی که جمعیت یک اداره به ۳۶۶ نفر برسد، بنا به
    [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] (و با توجه به فرض مسئله) به احتمال ۱۰۰ درصد حداقل دو نفر تاریخ تولد یکسانی خواهند داشت. این حقیقت ممکن است منجر به این باور غلط شود که احتمال وجود افراد با تاریخ‌های تولد یکسان در حالت اول کمتر از ۱۰ درصد و در حالت دوم حدود ۱۵ درصد است.
    اما پاسخ صحیح مسئله در حالت اول (۲۳ کارمند) ۵۰ درصد، و در حالت دوم (۵۷ کارمند) ۹۹ درصد است!شاید باور اینکه در یک اداره‌ی ۲۳ نفره به احتمال ۵۰ درصد دو نفر تاریخ تولد یکسانی داشته باشند کمی سخت باشد. از آن سخت‌تر باور کردن احتمال ۹۹ درصدی وجود تاریخ تولد یکسان در یک اداره‌ی ۵۷ نفره است. اما این احتمالات قابل اثبات هستند. از اداره‌ی ۲۳ نفری شروع کنیم:برای اثبات پاسخ این مسئله، از احتمال معکوس یا converse probability (احتمال قرار نگرفتن تاریخ تولد دو نفر در یک روز یکسان) استفاده می‌کنیم؛ چرا که محاسبه‌ی احتمال به روش مستقیم در این مسئله کار بسیار مشکلی است. احتمال اینکه دو نفر تاریخ تولد یکسانی نداشته باشند، اینگونه محاسبه می‌شود.
    این احتمال برای ۳ نفر به این صورت به دست می‌آید:
    همچنین برای ۴ نفر داریم:
    با ادامه‌ی این روش تا ۲۳ نفر خواهیم داشت:

    این یعنی از آنجایی که ۴۹.۳% احتمال دارد هیچ‌کس تاریخ تولد یکسانی با کس دیگری نداشته باشد، پس ۵۰.۷% احتمال وجود دارد که حداقل دو نفر در این اداره‌ی ۲۳ نفره تاریخ تولد یکسانی داشته باشند.
    در حالت دوم مسئله هم با استفاده از همین روش به احتمال ۹۹ درصد می‌رسیم. جالب است بدانید در صورتیکه تعداد کارمندان به ۷۵ نفر برسد، احتمال یکسان بودن تاریخ تولد‌ها به ۹۹.۹ درصد می‌رسد.نمودار احتمال این مسئله به شکل زیر است:

    در
    [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] می‌توانید علاوه بر آشنایی بیشتر با این مسئله و مطالعه‌ی اثبات‌های دقیق ریاضی، با استفاده از شبیه‌ساز سایت، خودتان احتمالات را با هر تعداد دلخواه کارمند به صورت شهودی بررسی کنید.



    ۶. پارادوکس جعبه‌ی برتراند


    فرض کنید ۳ جعبه وجود دارد که هر کدام از آن‌ها دارای دو محفظه هستند. در یکی از جعبه‌ها دو شمش طلا، در دیگری دو شمش نقره و در جعبه‌ی سوم یک شمش طلا و یک شمش نقره قرار دارد.

    یک جعبه را به صورت تصادفی انتخاب کرده و یکی از محفظه‌های آن را (آن هم به صورت تصادفی) باز می‌کنید. اگر شمشی که به دست آورده باشید از جنس طلا باشد، احتمال اینکه شمش درون محفظه‌ی دیگر همان جعبه هم از جنس طلا باشد چقدر است؟


    پاسخی که در ابتدا به ذهن اکثر افراد می‌رسد این است:
    از آنجایی که تنها دو جعبه با شمش طلا وجود دارد، حتماً یکی از آن‌ها را انتخاب کرده‌ام. همچنین از آنجایی که یکی از این دو جعبه در محفظه دیگر خود شمش نقره، و دیگری شمش طلا دارد، پس حتماً پاسخ مسئله ۵۰ درصد است.این پاسخ اشتباه است.برای اینکه بهتر متوجه شویم چرا احتمال طلا بودن شمش دیگر ۵۰ درصد نیست، شمش‌ها را به این صورت نام‌گذاری می‌کنیم.

    حال بیایید همه‌ی حالات ممکن را با هم بررسی کنیم.


    سپس تنها حالاتی را که در آن‌ها انتخاب اول شما شمش طلا بوده است را در نظر می‌گیریم.


    همانطور که مشخص است، اگر در انتخاب اول با شمش طلا مواجه شوید، به احتمال دو سوم شمش محفظه‌ی دیگر نیز از جنس طلا است.
    این معما رابطه‌ی تنگاتنگی با [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] دارد. اگر استدلال‌های معمای مانتی هال شما را قانع نکرده است، احتمالاً پاسخ این مسئله را هم به سادگی نخواهید پذیرفت.در هر صورت اگر علاقه‌مند به مطالعه‌ی بیشتر درباره‌ی این مسئله هستید، می‌توانید به [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] و [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] مراجعه کنید.


    ۷. معمای هتل هیلبرت




    هتلی را در نظر بگیرید که «بی‌نهایت» اتاق دارد و تمامی اتاق‌های آن پُر است. مسافر جدیدی از راه می‌رسد و مدیریت هتل به او می‌گوید که یک اتاق خالی برای او سراغ دارد. با توجه به پُر بودن تمامی اتاق‌ها، مدیر هتل چگونه قرار است برای مسافر اتاق خالی پیدا کند؟
    پاسخ معما به این صورت است:از آنجایی که تمام اتاق‌های هتل پر از مسافر است، مدیر هتل از مسافر اتاق ۱ می‌خواهد تا به اتاق شماره ۲ نقل مکان کند. همچنین از مسافر اتاق ۲ نیز درخواست می‌کند تا به اتاق شماره ۳ تغییر مکان بدهد. همینطور مسافر اتاق ۳ به ۴، ۴ به ۵، ۵ به ۶ و ... . در واقع مدیر هتل از مسافر اتاق n تقاضا می‌کند تا به اتاق n + 1 برود. از آن‌جایی که هتل بی‌نهایت اتاق دارد، همواره اتاقی برای انتقال مسافران وجود خواهد داشت. با این کار اتاق ۱ خالی می‌شود و مسافر جدید می‌تواند در آن اسکان بیابد.اگر شب بعد یک اتوبوس ۶۰ نفری برای هتل میهمان بیاید چطور؟ این بار آقای مدیر چه ترفندی برای اسکان مسافران جدید در هتلِ کاملاً پرِ خود به کار خواهد گرفت؟این دفعه مدیریت هتل از مسافر اتاق ۱ می‌خواهد تا به اتاق ۶۱ برود. همینطور مسافر اتاق ۲ به اتاق ۶۲، ۳ به ۶۳، ۴ به ۶۴ و ... . به این ترتیب ۶۰ اتاق اول هتل خالی خواهند شد. احتمالاً قاعده‌ی جای دادن n تعداد (متناهی) مسافر در این هتل را حدس زده باشید؛ برای اسکان m مسافر جدید، مسافر اتاق n را به اتاق n+m انتقال می‌دهیم.اما اگر شب بعد اتوبوسی با «بی‌نهایت» مسافر جدید از راه برسد، چطور می‌توان آن‌ها را در هتلی که حتی یک اتاق خالی هم ندارد جای داد؟شیوه‌ی حل مسئله این بار به این صورت است که از مسافر اتاق ۱ درخواست می‌کنیم به اتاق۲ برود، مسافر اتاق ۲ به اتاق ۴، ۳ به ۶، ۴ به ۸ و ... . یعنی مسافران اتاق‌های n به اتاق‌های 2n نقل مکان کنند. با این کار اتاق‌های 2n-1 (فرد) که تعدادشان بی‌نهایت است، آماده‌ی پذیرایی از بی‌نهایت مسافر جدید خواهند بود.درک این مسئله و راه حل آن نیز رابطه‌ی تنگاتنگی با درک [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] دارد. دانستن مفاهیم «[تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ]» و «[تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ]» به شما در فهم راه حل این مسئله کمک خواهد کرد.در حقیقت حتی اگر بی‌نهایت اتوبوس که هر کدام بی‌نهایت مسافر دارند هم از راه برسند، می‌توان آن‌ها را در هتل جای داد. اثبات این حالت کمی پیچیده‌تر از حالات قبلی است و اگر علاقه دارید می‌توانید در [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] و [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] درباره‌ی آن بیشتر بخوانید.


    ۸. چگونه می‌توان با استفاده از تخته‌ی دارت، مقدار π (عدد پی) را تخمین زد؟


    یکی از جالب‌ترین راه‌ها برای تخمین مقدار π، انتخاب تصادفی نقاط در شکل زیر است.

    چنین شکلی را خودتان هم می‌توانید با هر ابعاد دلخواهی درست کنید. فرض کنیم شعاع دایره برابر r باشد. در نتیجه ضلع مربعی که آن را محاط کرده است برابر 2r است. با این حساب مساحت دایره πr2 و مساحت مربع 4r2 خواهد بود. نسبت مساحت دایره به مربع نیز برابر π چهارم می‌شود. حالا به هر روشی که دوست دارید، به صورت تصادفی نقاطی را بر روی صفحه‌ی فوق انتخاب کنید. دقت داشته باشید که هیچ عاملی به جز شانس در انتخاب نقاط دخیل نباشد. هر چقدر که تعداد این نقاط تصادفی بیشتر باشد، نسبت نقاطی که درون دایره قرار گرفته‌اند به نقاط خارج از دایره (و درون مربع) به عدد π چهارم نزدیک‌تر خواهد شد. مقدار تقریبی π با استفاده از این روش، اینگونه حساب می‌شود.


    البته باید توجه داشت که صورت مسئله ممکن است کمی گمراه کننده باشد، چرا که در شرایط پرتاپ دارت به سوی بورد، ممکن است عوامل دیگری نیز دخیل باشند که توزیع تصادفی نقطه‌ها بر روی شکل را تحت تاثیر قرار بدهند؛ اما باید در نظر داشت که عنوان معماها صرفاً برای ساده سازی، رساندن مفهوم کلی و جذاب‌تر کردن مسئله طراحی می‌شوند. صورت مسئله تعریف دقیق‌تری را ارائه می‌دهد.
    به طور کلی، این نوع محاسبات آماری که با نمونه‌گیری تصادفی همراه است، به [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] ([تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ]) مشهور است. درباره‌ی محاسبه‌ی مقدار π به صورت آماری می‌توانید در [تنها اعضای سایت قادر به دیدن لینک‌ها هستند. ] به مطالعه بپردازید.

    منبع:زومیت
+ ارسال تاپیک جدید

اطلاعات موضوع

کاربرانی که در حال مشاهده این موضوع هستند

در حال حاضر 1 کاربر در حال مشاهده این موضوع است. (0 کاربران و 1 مهمان ها)

موضوعات مشابه

  1. تاپیک راهنمای معماهای بومی
    توسط Nesho در انجمن پرسش و پاسخ، مباحث فنی و سایر مسائل حوزه‌ی فناوری
    پاسخ: 210
    آخرين نوشته: April 9th, 2019, 23:58
  2. اثبات های عجیب و غریب ریاضی (پارادوکس ریاضی)
    توسط erfanmob در انجمن پرسش و پاسخ، مباحث فنی و سایر مسائل حوزه‌ی فناوری
    پاسخ: 13
    آخرين نوشته: August 9th, 2011, 17:12
  3. هوش و ریاضی
    توسط Arvin-Senator در انجمن پرسش و پاسخ، مباحث فنی و سایر مسائل حوزه‌ی فناوری
    پاسخ: 0
    آخرين نوشته: October 27th, 2010, 19:01
  4. معماهای نهج البلاغه
    توسط aaa57110 در انجمن کتاب‌ها و مجلات الکترونیکی سایر حوزه‌ها
    پاسخ: 0
    آخرين نوشته: November 15th, 2008, 13:18

کاربرانی که این تاپیک را مشاهده کرده اند: 0

هیچ عضوی در لیست وجود ندارد.

کلمات کلیدی این موضوع

آنجایی، آن‌ها، آورده، اتاق، اتاق‌های، اثبات، احتمال، احتمالاً، اداره، اداره‌ی، ازای، است، است،، استفاده، اسکان، اشتباه، اعداد، افراد، اما، انتخاب، اول، اکثر، اگر، این، اینجا، اینکه، بار، باشد، باشد،، باشند، باشید، باور، باید، برابر، برای، برایتان، برسد،، بودن، بگیرید، بیشتر، بی‌نهایت، تاریخ، تساوی، تصادفی، تعداد، تمامی، تنها، توجه، توضیح، تولد، جای، جدید، جعبه، جنس، حالات، حالت، حتماً، حقیقت، خالی، خواهد، خود، خیلی‌ها، دارد، دارد،، داشت، داشته، دایره، درب، درباره‌ی، درست، درصد، درون، درک، دوستان، دیگر، دیگری، راه، روش، زوج، زیر، سوم، شانس، شما، شمش، شکل، صورت، طبیعی، طلا، عدد، علاقه‌مند، عوض، غلط، فرض، قابل، قانع، قانون، قبل، قرار، ماشین، مانتی، مثال، مجری، مجموعه‌ی، مدیر، مربع، مسئله، مسئله‌ی، مساحت، مسافر، مسافران، معما، معمای، مفهوم، مقدار، ممکن، مورد، می‌توان، می‌توانید، می‌شود، می‌کنید، نامتناهی، نشان، نظر، نفر، نفره، نقاط، نوع، نیز، هتل، هستند، همان، همچنین، وجود، پاسخ، پشت، چرا، چقدر، چند، کار، کارمند، کارمندان، کردن، کرده، کمی، کنید، یعنی، یکسان، یکسانی، یکی، ۰/۹۹۹

نمایش برچسب‌ها

مجوز ‌های ارسال و ویرایش

  • شما نمیتوانید موضوع جدیدی ارسال کنید
  • شما امکان ارسال پاسخ را ندارید
  • شما نمیتوانید فایل پیوست کنید.
  • شما نمیتوانید پست ‌های خود را ویرایش کنید
  •  

اکنون ساعت 21:09 برپایه‌ی ساعت جهانی (GMT +3.5) می‌باشد.

تبلیغات متنی

عضویت در خبرنامه

با عضویت در خبرنامه‌ی سایت، جدیدترین ترفندها، نقد و بررسی‌ها و مطالب مدرسه فناوری به طور خودکار به ایمیل شما ارسال می‌شود. بعد از کلیک بر روی دکمه‌ی «مشترک شوید»، بایستی کد داخل تصویر را وارد کرده، سپس به صندوق ایمیل خود مراجعه کنید و روی لینک تأیید کلیک کنید تا اشتراک شما نهایی شود.

کلیه حقوق مادی و معنوی متعلق به وب سایت ترفندستان است. برداشت مطالب و تصاویر تنها با ذکر نام ترفندستان مجاز است.